KEMAMPUAN SMASH TERHADAP PERMAINAN BOLA VOLI

 1.    SMASH BOLA VOLI

Dalam permainan bola voli terhadap beberapa teknik merupakan dasar yang harus dikuasai oleh seorang pemain bola voli agar dapat bermain bola voli dengan baik. Menurut dieter beutelstahl (1986:9) bahwa teknik-teknik dasar permainan bola voli tersebut meliputi: “(1) servis, (2) pass bawah, (3) pass atas, (4) smash, (5) blok, dan (6) pertahanan”. Dari keenam teknik dasar tersebut yang menjadi fokus perhatian dalam sampel ini adalah teknik smash.

Smash atau biasa pula disebut dengan serangan merupakan suatu bentuk pukulan permainan yang sangat berperan dalam bermain bola voli, oleh karena teknik ini paling efektif untuk mematikan pertahanan lawan atau mematikan bola dilapangan lawan dan sekaligus untuk dapat meraih point. Oleh sebab itu teknik smash sangat perlu dikuasai oleh seorang pemain bola voli, sebab regu yang memiliki smasher yang baik mempunyai peluang yang besar untuk memenangkan permainan dalam suatu pertandingan.

Akan tetapi untuk dapat memiliki kemampuan smash bola voli yang baik, maka pemain tersebut harus dapat memadukan berbagai kemampuan kondisi fisik yang diduga dapat menunjang kemampuan melakukan smash bola voli dengan baik yakni panjang lengan, dan daya ledak, di samping perlu pula didukung dengan unsur teknik yang baik.

Mengenai faktor panjang lengan, bagi yang memiliki lengan yang panjang dengan keserasian tinggi dan dasar tubuh yang ideal adalah merupakan salah satu potensi yang turut menentukan kemampuannya dalam melakukan smash dalam permainan tennis lapangan. Peranan panjang lengan tersebut terutama diperlukan untuk menciptakan pukulan servis yang tajam atau curam karena dukungan tinggi latihan, ditambah dengan kuatnya lengan melakukan pukulan pada bola sangat efektif mendukung keras dan curam nya pukulan smash yang dilakukan sehingga besar kemungkinan sulit bola dikembalikan oleh lawan.

Smash juga pengaruhi oleh unsur daya ledak, dalam hal ini pemain dapat melakukan lompatan dengan kuat jika didukung dengan daya ledak yang baik. Karenanya pukulan smash membutuhkan kekuatan dan kecepatan terutama pada saat melakukan lompatan di atas net sehingga memungkinkan menghasilkan pukulan smash yang maksimal.

Dengan demikian dapatlah dikatakan bahwa kondisi fisik seperti panjang lengan, dan daya ledak merupakan pra kondisi yang memegang peranan penting dalam olahraga bola voli khususnya dalam melakukan smash, karena dapat dalam memperoleh pukulan smash yang baik.

Oleh sebab itu smash pada permainan bolavoli adalah salah satu teknik bermain yang sangat menentukan dalam permainan bolavoli. Smash dalam permainan bola voli dipergunakan ketika mengadakan penyerangan. Pukulan yang dilakukan pada penyerangan dengan teknik ini melibatkan berbagai kemampuan tubuh karena sasarannya adalah kecepatan dan ketepatan bola hasil smash untuk memperoleh kemenangan.

Smash dalam permainan bolavoli merupakan suatu gerak kerja yang bertujuan untuk mematikan pertahanan lawan. Oleh sebab itu yang perlu diperhatikan dalam melakukan smash adalah kecepatan dan ketepatan mengarahkan bola, dimana seorang pemain melompat tinggi untuk memukul bola yang bergerak dengan tenaga dan arah yang tepat serta melampaui jaring/net

Smash merupakan gerak kerja yang terpenting dan terakhir dalam gerak kerja serangan. Smash bermula dari bola servis dari lawan kemudian di passing (dioper) oleh toser kepada yang akan melakukan smash (smasher). Umumnya smash dilakukan pada sentuhan bola ketiga, namun pada pemain bola voli modern, smash sering dilakukan langsung pada sentuhan bola pertama maupun bola kedua tergantung pada keberadaan, kesiapan serta kesanggupan pemain.

 2.    Panjang Lengan

Panjang lengan merupakan salah satu anggota tubuh yang tergolong dalam pengukuran Antropometrik yakni salah satu anggota gerak tubuh bagai atas yang terdiri dari : lengan atas, lengan bawah, tangan, dan jari-jari tangan. Dengan demikian panjang lengan meliputi pengukuran anggota gerk tubuh bagian atas yang dimulai dari persendian bahu atau persendian lengan atas sampai pada tangan atau jari tangan yang terpanjang.

Dalam setiap aktivitas manusia khususnya dalam kegiatan olahraga, panjang lengan merupakan faktor yang penting dalam arti menunjang ketrampilan. Hal tersebut terbukti bahwa rata-rata atlet yang bertubuh panjang atau tinggi dengan keserasian besar tubuh dan berat badan yang ideal akan lebih unggul dalam berbagai cabang olahraga.

Dengan demikian ukuran lengan yang panjang akan lebih kuat dari pada lengan yang pendek. Hal ini disebabkan karena lengan yang panjang akan memiliki otot yang panjang. Otot yang lebih panjang rata-rata lebih kuat dibanding yang pendek,

Oleh sebab itu, ukuran panjang lengan seseorang akan menunjang kemampuan fisik yang lebih besar dibandingkan dengan orang yang berlengan pendek serta dengan otot-otot yang kecil pula. Sehingga dapat dikatakan bahwa panjang lengan merupakan pra kondisi yang menunjang dalam berbagai cabang olahraga termasuk pelaksanaan smash dalam permainan bola voli. Oleh karena dengan lengan yang panjang berarti memiliki lengan yang kuat dan hal ini sangat efetik mendukung keras dan curam nya pukulan smash dalam permainan bolavoli yang dilakukan.

3.    Daya ledak

Daya ledak biasa juga disebut dengan istilah power yang sangat dibutuhkan dalam berbagai cabang olahraga apalagi olahraga itu menuntut suatu aktivitas yang berat dan cepat atau kegiatan itu harus dilakukan dalam waktu yang sesingkat mungkin dengan beban berat. Untuk mampu melaksanakan aktivitas seperti itu diperlukan perpaduan antara kekuatan dan kecepatan otot yang dikerahkan secara bersama-sama dalam mengatasi tahanan beban dalam waktu yang relative singkat.

Kekuatan tetap merupakan dasar (basis) untuk menentukan power. Sebelum latihan power, orang harus sudah memiliki suatu tingkat otot yang baik.

Tenaga otot adalah kemampuan untuk melepaskan kekuatan otot secara maksimal dalam waktu yang sangat singkat”.  Oleh sebab itu, dapat dikatakan bahwa tenaga eksplosif (daya ledak) lebih diperlukan dalam semua cabang olahraga termasuk pada cabang olahraga bolavoli khususnya pada pelaksanaan smash. Karena untuk menampilkan pola gerak olahraga eksplosi diperlukan unsure kekuatan otot maupun kecepatan yang dikombinasikan dalam suatu gerakan secara terpadu.

Disamping itu, kekuatan sangat penting guna meningkatkan kondisi fisik secara keseluruhan dan memegang peranan penting dalam aktivitas olahraga sebab itu daya ledak sangat dibutuhkan untuk kegiatan fisik sehari-hari yang memerlukan tenaga explosive seperti lompat, lari cepat, memukul, menendang, mengangkat, melempar dan lain-lain.

Sehubungan dengan itu maka dapat dikatakan bahwa power merupakan kombinasi antara kekuatan dan kecepatan, sehingga dalam proses pengembangannya dilakukan dengan melatih unsur kekuatan dan kecepatan.

Berdasarkan uraian di atas, maka dapat dikatakan bahwa power sangat penting dalam setiap aktivitas cabang olahraga terutama yang mengharuskan atlet untuk menolak dengan kaki, seperti : lompat dalam atletik, berlari dengan cepat (sprint), juga cabang olahraga yang mengharuskan atlet untuk mengerahkan tenaga secara meledak dalam waktu yang terbatas seperti melakukan smash dalam permainan bolavoli.

Dalam permainan bola voli khususnya dalam melakukan smash, daya ledak tungkai memegang peranan penting. Kalau melihat gerak tingkah laku pada saat melakukan smash yaitu terlebih dahulu dengan awalan, diteruskan dengan lompatan diatas net, maka untuk dapat melakukan lompatan dengan cepat dan kuat untuk menggerakkan badan ke atas dalam  melakukan smash pada bola maka tampak dengan jelas bahwa otot tungkai yang berperan utama untuk melakukan gerakan tersebut dengan baik.

Oleh sebab itu dapat dikatakan bahwa gerakan smash yang baik adalah gerakan yang didukung oleh daya ledak yang baik pula. Karena dengan daya ledak yang baik akan dapat menghasilkan dorongan yang kuat dalam menggerakkan badan ke atas mengarah ke sasaran sesuai dengan yang diinginkan sehingga dapat dicapai hasil smash yang baik

Macam dan jenis wajib dalam agama islam

Dalam Islam dikenal dua buah hukum wajib dalam kejidupan beribadah kepada Allah sehari-hari, yaitu:

1.       Wajib Ain

Wajib ain adalah suatu kwajiban untuk melaksankan suatu perintah Allah SWT yang bersifat wajib mutlak dan berlaku pada setiap orang manusia atau individu di muka bumi ini.

Contoh wajib ain :

-belajaer menunutt ilmu sampai ke negeri cina

Sholat lima waktu

Berpuasa di bulan ramadahn

2.       Wajib kifayah

Wajib kifayah adalah suatu kewajiban unytuk melaksanakan suatu perintah Allah SWT yang bersifat wajib mmutlak dan berlaku hanya pada satu, beberapa atau sebagian orang saja, asalkan pada suatu lingkungan atau komunitas ada yang telah atau dapat melaksanakannya. Secara skala perbandingannya harus sesuai dengan yang dbutuhkan oleh suatu lingkungan tersebut.

Contoh wajib kifayah:

Memenadikan , menyolatkan dan menguburkan jenazah orang meninggal

-          Membantu orang yang sedang tertimpa musibah

-          Membersihkan masjid dan mushola

Dalam syariat Islam kita menjumpai tentang hukum, diantaranya wajib, Sunah (mandub), makruh, haram, dan mubah. Hukum-hukum ini dalam ilmu Ushul Fiqih biasa disebut dengan hukum taklifi yang berkaitan dengan perbuatan manusia. Wajib dapat dibagi-bagi berdasakran substansi, waktu, dan objek yang mengerjakan.

A.      Pembagian wajib berdasarkan substansi

Berdasarkan subastansinya wajib bisa dibagi menjadi 2 macam :

1.       Wajib Mu’ayin

Secara bahsa mu’ayin adalah sesuatu yang sudah jelas atau tentu. Adapun menuut istilah wajib mu’ayin adalah wajib yang sudah dijleaskan kadar ukuran serta tata caranya kita tidak dapat mengelak dari tuntutan perintah kewajiban itu. Misalnya kewajiban kita dlaam melaksanakan zakat. Apbila harta kita suadah samapai satu nisab, maka kikta harus mengeluarkan zakatnya dan tidak ada pilihan lagi bagi kita jika kita meninggalkannya atau tidak mengeluarkan zakat tersebut, maka kita akan berdosa.

2.       Wajib Mukhoyir

Mukhoyir secara bahasa artinya memilih sedangkan menurut istyilah wajib mukhoyir adalah perinaj yang mewjaibkankepada kita untuk melaksankan perintah tersebut namun di sini ada pilihan bagi mukalaf untuk memilih salah satu di antara kewajiban terebut. Contohnya kewajiban dalam emmbayar kifarat, Allah SWT memerintahkan kpada kita untuk memerdekakan budak atau mmemberi makan terhadap 10 orang fakir miskin atau memberi pakaian kepada 20 fakir miskin, disini kita dapat memilih mana yang mau kita kerjakan, apakah memerdekakan budak, atau memberi fakir miskin dan apabila kita telah mengerjakan salah satu pilihan tersebut, maka gugurlah ketiga-ketugabtya artinya perintah Allah untuk membayar kifarat telah gugur.

B.      Pembagian berdasarkan waktu pelaksanaannya

Berdasarkan waktu pelaksanaannya, wajib dibagi menjadi 3 bagian :

1.       Wajib Mudloyaq

Wajib mudloyaq adlaah wajib yang wkatu pelaksanaan sesuai dengan perintah yang disyariatkan, tidak bisa ditambah ataupun dikurang. Contohnya adalah perintah puasa. Allah telah menyariatkan kepada hamabnya untuk berpuasa mulai terbitnya fajar sampai terbenamnya matahari kita tidak dapat menambahnya ataupun menguranginyakadar waktu yang telah ditentukan oleh syariat.

2.       Wajib Yunaqqis

Wajib Yunaqqis adalah wajib yang pelaksanaannya lebh sedikit atau berkurang daripada waktu yang teah ditentukan oleh syariat. Contohnya adalah orang wanita yang sedang haid ketika dia dilarang sholat, tteapi pada jam 2 siang tiba-tiba hadnya m\berhenti maka dia wajib sholat dzuhur padahal sholat dzuhur sebenarnya mulai jam 12 sampai jam 3 kurang lebih ada 3 jam. Ytapi wnaita dinisini memiliki waktyu dzuhur mulai jam 2 sampai jam 3 atau memiliki waktu 1 jam, maka disinilahwaktunya brkurang daie pada waktu yang telah ditentukan oleh syariat.

3.       Wajib Muwasi’

Wajib muwasi’ adalh wajib yang pelaksanaannya melebihi daripada waktu yang telah dtentukanoleh syariat. Contohnya sholat 5 waktu. Misalnya kita mempunyai waktu untuk sholat dzuhur 3 jam, tapi mungkin wkatu yang kita perlukan untuk sholat hanya 30 menit maksimal, maka waktu kita pakai dalam melaksanakan sholat lebih dari 2 jam 30 menit.

C.      Berdasarkan objek pelaksana

Berdasarkan objek yang harus melaksanakan kewajiban, wajib dibedakan menjadi 2 bagian :

1.       Wajib Ain

Wajib ain adalah suatu kwajiban untuk melaksankan suatu perintah Allah SWT yang bersifat wajib mutlak dan berlaku pada setiap orang manusia atau individu di muka bumi ini.

Contoh wajib ain :

-belajaer menunutt ilmu sampai ke negeri cina

Sholat lima waktu

Berpuasa di bulan ramadahn

2.       Wajib kifayah

Wajib kifayah adalah suatu kewajiban unytuk melaksanakan suatu perintah Allah SWT yang bersifat wajib mmutlak dan berlaku hanya pada satu, beberapa atau sebagian orang saja, asalkan pada suatu lingkungan atau komunitas ada yang telah atau dapat melaksanakannya. Secara skala perbandingannya harus sesuai dengan yang dbutuhkan oleh suatu lingkungan tersebut.

Contoh wajib kifayah:

Memenadikan , menyolatkan dan menguburkan jenazah orang meninggal

-          Membantu orang yang sedang tertimpa musibah

-          Membersihkan masjid dan mushola

Relevansi kekuatan Individu Liberalisme Klasik dalam Demokrasi dan Kapitalisme

Telah dikatakan bahwa setidaknya ada dua paham yang relevan atau menyangkut Liberalisme Klasik. Dua paham itu adalah paham mengenai Demokrasi dan Kapitalisme.

* Demokrasi dan Kebebasan Dalam pengertian Demokrasi, termuat nilai-nilai hak asasi manusia, karena demokrasi dan Hak-hak asasi manusia merupakan satu kesatuan yang tidak dapat dipisahkan antara yang satu dengan yang lainnya. Sebuah negara yang mengaku dirinya demokratis mestilah mempraktekkan dengan konsisten mengenai penghormatan pada hak-hak asasi manusia, karena demokrasi tanpa penghormatan terhadap hak-hak asasi setiap anggota masyarakat, bukanlah demokrasi melainkan hanyalah fasisme atau negara totalitarian yang menindas.

Jelaslah bahwa demokrasi berlandaskan nilai hak kebebasan manusia. Kebebasan yang melandasi demokrasi haruslah kebebasan yang positif – yang bertanggungjawab, dan bukan kebebasan yang anarkhis. Kebebasan atau kemerdekaan di dalam demokrasi harus menopang dan melindungi demokrasi itu dengan semua hak-hak asasi manusia yang terkandung di dalamnya. Kemerdekaan dalam demokrasi mendukung dan memiliki kekuatan untuk melindungi demokrasi dari ancaman-ancaman yang dapat menghancurkan demokrasi itu sendiri. Demokrasi juga mengisyaratkan penghormatan yang setinggi-tingginya pada kedaulatan Rakyat.

* Kapitalisme dan Kebebasan Tatanan ekonomi memainkan peranan rangkap dalam memajukan masyarakat yang bebas. Di satu pihak, kebebasan dalam tatanan ekonomi itu sendiri merupakan komponen dari kebebasan dalam arti luas ; jadi, kebebasan di bidang ekonomi itu sendiri menjadi tujuan. Di pihak lain, kebebasan di bidang ekonomi adalah juga cara yang sangat yang diperlukan untuk mencapai kebebasan politik. Pada dasarnya, hanya ada dua cara untuk mengkoordinasikan aktivitas jutaan orang di bidang ekonomi. Cara pertama ialah bimbingan terpusat yang melibatkan penggunaan paksaan – tekniknya tentara dan negara dan negara totaliter yang modern. Cara lain adalah kerjasama individual secara sukarela – tekniknya sebuah sistem pasaran. Selama kebebasan untuk mengadakan sistem transaksi dipertahankan secara efektif, maka ciri pokok dari usaha untuk mengatur aktivitas ekonomi melalui sistem pasaran adalah bahwa ia mencegah campur tangan seseorang terhadap orang lain. Jadi terbukti bahwa kapitalisme adalah salah satu perwujudan dari kerangka pemikiran liberal.

TEORI HIMPUNAN

Himpunan (set)

        

·     Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.

·     Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Cara Penyajian Himpunan

1. Enumerasi

Contoh 1.

-  Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.      

-  Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.            

-  C = {kucing, a, Amir, 10, paku}

-  R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

-  C  = {a, {a}, {{a}} }

-  K  = { {} }                                                                                               

-  Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }    

-  Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.                                                                                  

Keanggotaan

x Î A : x merupakan anggota himpunan A;

x Ï A : x bukan merupakan anggota himpunan A.

Contoh 2.

Misalkan: A = {1, 2, 3, 4},  R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

       K  = {{}}

maka

3    A

5    B

{a, b, c} Î R

          c Ï R         

               {} Î K

              {} Ï R                                                                                               

Contoh 3. Bila P₁ = {a, b}, P₂ = { {a, b} }, P₃ = {{{a, b}}}, maka

              a Î P₁

          a Ï P₂

                   P₁ Î P₂

          P₁ Ï P₃

                   P₂ Î P₃                                                                                              

2. Simbol-simbol Baku

P =  himpunan bilangan bulat positif  =  { 1, 2, 3, ... }

N =  himpunan bilangan alami (natural)  =  { 1, 2, ... }

Z =  himpunan bilangan bulat  =  { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Q =  himpunan bilangan rasional

R =  himpunan bilangan riil

C =  himpunan bilangan kompleks

·       Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.

Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

3.  Notasi Pembentuk Himpunan

Notasi: { x ú syarat yang harus dipenuhi oleh x }    

Contoh 4.

(i)  A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5

       A = { x | x  adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari  5}

 atau

 A  =  { x | x  P, x < 5 } 

     yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

(ii)  M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}              

4. Diagram Venn

Contoh 5.

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:

Kardinalitas

·         Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.

·         Notasi: n(A) atau êA ê

Contoh 6.

(i)   B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 },

          atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka ½B½ = 8

(ii)  T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka ½T½ = 5

(iii)  A = {a, {a}, {{a}} }, maka ½A½ = 3                                                                                                                                               

 

Himpunan Kosong

·         Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).

·         Notasi : Æ atau {}

Contoh 7.

(i)   E = { x | x < x }, maka n(E) = 0

(ii)  P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0

(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x² + 1 = 0 }, n(A) = 0             

·         himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {Æ}

·         himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {Æ, {Æ}}

·         {Æ} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.

Himpunan Bagian (Subset)

·         Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.

·         Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

·         Notasi: A  Í B

·         Diagram Venn:

                                               

Contoh 8.

(i)  { 1, 2, 3} Í {1, 2, 3, 4, 5}

(ii) {1, 2, 3} Í {1, 2, 3}       

(iii) N Z R C

(iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x  ³, y  ³ 0 } dan

       B = { (x, y) | 2x + y < 4,  x  ³ 0 dan y  ³ 0 },  maka B A.                  

                                                                                                                         

TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:

(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A).

(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A).

(c) Jika A Í B dan B Í C, maka A Í C

                  

·     A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.

Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan Æ adalah improper subset dari A.

·     A Í B berbeda dengan A Ì B

(i)         A Ì B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ¹ B.

       A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.

 Contoh: {1} dan {2, 3} adalah  proper subset dari {1, 2, 3}

(ii) A Í B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah  himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.

Himpunan yang Sama

·         A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.

·         A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A ¹ B.

·         Notasi : A = B  «  A Í B dan B Í A

Contoh 9.

(i)   Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B

(ii)  Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B

(iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A ¹ B                                               

Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:

(a) A = A, B = B, dan C = C    

(b) jika A = B, maka B = A

(c) jika A = B dan B = C, maka A = C

 

Himpunan yang Ekivalen

·          Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.

·         Notasi : A ~ B  « ½A½ = ½B½

Contoh 10.

Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab ½A½ = ½B½ = 4               

 

Himpunan Saling Lepas

·         Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

·         Notasi : A // B

·         Diagram Venn:

Contoh 11.

Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.                        

Himpunan Kuasa

·         Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.                         

·         Notasi : P(A) atau 2^A

·         Jika ½A½ = m, maka ½P(A)½ = 2m.

Contoh 12.

Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}                                

Contoh 13.

Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P(Æ) = {Æ}, dan himpunan kuasa dari himpunan {Æ} adalah P({Æ}) = {Æ, {Æ}}.                                                                         

Operasi Terhadap Himpunan

a. Irisan (intersection)

·       Notasi : A Ç B = { x | x Î A dan x Î B }

Contoh 14.

(i)     Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18},

  maka A Ç B = {4, 10}

(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = .

 Artinya:  A // B                           

b.  Gabungan (union)

·       Notasi : A È B = { x | x Î A atau x Î B }

   

Contoh 15.

(i)  Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 }

(ii) A = A                                                                                          

 

 

c.  Komplemen (complement)

·       Notasi :  = { x | x Î U, x Ï A }

Contoh 16.

Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },

(i)              jika A = {1, 3, 7, 9}, maka  = {2, 4, 6, 8}

(ii)            jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 }                              

Contoh 17.  Misalkan:

A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri

B = himpunan semua mobil impor

C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990

D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta

E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu

(i)    “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri” à (E Ç A) È (E Ç B) atau E Ç (A È B)

(ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” à A Ç C Ç D

(iii)        “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta” à                                    

d. Selisih (difference)

·       Notasi : A – B = { x | x Î A dan x Ï B } =  A Ç

Contoh 18.  

(i)   Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A =

(ii)  {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}

 

e.  Beda Setangkup (Symmetric Difference)

·       Notasi: A Å B = (A È B) – (A Ç B) = (A – B) È (B – A)

Contoh 19.

Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }

 

Contoh 20.  Misalkan

U = himpunan mahasiswa

P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80

Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80

Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.

(i)     “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P Ç Q

(ii)  “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Å Q

(iii)   “Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P È Q)                

 

TEOREMA 2.  Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:

          (a) A Å B = B Å A                                   (hukum komutatif)

          (b) (A Å B )  Å C = A Å (B Å C )           (hukum asosiatif)

         

f.  Perkalian Kartesian (cartesian product)

·       Notasi: A ´ B = {(a, b) ½ a Î A dan b Î B }

Contoh 20.

(i)   Misalkan C = { 1, 2, 3 },  dan D = { a, b }, maka
      C ´ D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

(ii)  Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka
 A ´ B = himpunan semua titik di bidang datar

Catatan:

1.    Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: ½A ´ B½ = ½A½ . ½B½.

2.    Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) ¹ (b, a).

3.    Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A ´ B ¹ B ´ A  dengan syarat A atau B tidak kosong.

Pada Contoh 20(i) di atas, D ´ C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } ¹ C ´ D.

4.    Jika A = Æ atau B = Æ, maka A ´ B = B ´ A =  Æ

 

Contoh 21.  Misalkan

A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus }

         B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }

Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas?

Jawab:

½A ´ B½ = ½A½×½B½ = 4 × 3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.                                                                         

Contoh 21. Daftarkan semua anggota himpunan berikut:

(a) P(Æ)          (b) Æ ´ P(Æ)      (c) {Æ}´ P(Æ)    (d) P(P({3}))     

Penyelesaian:

(a) P(Æ) = {Æ}

(b)    Æ ´ P(Æ) = Æ   (ket: jika A = Æ atau B = Æ maka A ´ B = Æ)

(c) {Æ}´ P(Æ) = {Æ}´ {Æ} = {(Æ,Æ))

(d)   P(P({3})) = P({ Æ,  {3} }) = {Æ, {Æ}, {{3}}, {Æ, {3}} }                                                          

Perampatan Operasi Himpunan

               

Contoh 22.

(i) A (B1B2  ... Bn) = (A B1) (A B2) ... (A Bn)

(ii) Misalkan A = {1, 2},   B = {a, b}, dan C = {a, b}, maka

A ´ B ´ C = {(1, a, a), (1, a, b), (1, b, a), (1, b, b), (2, a, a), (2, a, b), (2, b, a), (2, b, b) }

Hukum-hukum Himpunan

1.  Hukum identitas:    A = A    A U = A	2.  Hukum null/dominasi:    A =    A U = U
3.  Hukum komplemen:    A  = U    A  =	4.  Hukum idempoten:    A A = A    A A = A
5.  Hukum involusi:    = A	6.  Hukum penyerapan (absorpsi):    A (A B) = A    A (A B) = A
7.  Hukum komutatif:    A B = B A    A B = B A	8.  Hukum asosiatif:    A (B C) = (A B) C    A (B C) = (A B) C
9.  Hukum distributif:    A (B C) = (A B) (A C)    A (B C) = (A B) (A C)	10.    Hukum De Morgan:     =     =
11.           Hukum 0/1     = U     = Æ

 

Prinsip Dualitas

·       Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.

Contoh: AS à kemudi mobil di kiri depan

          Inggris (juga Indonesia) à kemudi mobil di kanan depan

Peraturan:

          (a) di Amerika Serikat,

                   -   mobil harus berjalan di bagian kanan jalan,        

-         pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului,

-         bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung

(b) di Inggris,

-         mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,

-         pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului,

-         bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung

Prinsip dualitas:

Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris.

·       (Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti , , dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti   ® ,  ® ,  ® U, U ® , sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.

1.  Hukum identitas:    A = A	Dualnya: A U  = A
2.   Hukum null/dominasi:    A =	Dualnya: A U = U
3.  Hukum komplemen:     A  = U	Dualnya: A =
4.  Hukum idempoten:     A A = A	Dualnya: A A = A
5.  Hukum penyerapan:     A (A B) = A	Dualnya:        A (A B) = A
6.  Hukum komutatif:     A B = B A	Dualnya:        A B = B A
7.  Hukum asosiatif:  A (B C) = (A B) C	Dualnya:  A (B C) = (A B) C
8.  Hukum distributif: A (B C)=(A B) (A C)	Dualnya:  A (B C) = (A B) (A C)
9.  Hukum De Morgan:      =	Dualnya:         =
10.  Hukum 0/1     = U	Dualnya:         = Æ

Contoh 23. Dual dari (A B) (A ) = A adalah

        (A B) (A ) = A.

Prinsip Inklusi-Eksklusi

Untuk dua himpunan A dan B:

                                ½A È B½ = ½A½ + ½B½ – ½A Ç B½                                                                                      

            ½A Å B½ = ½A½ +½B½ – 2½A Ç B½                                                         

Contoh 24.  Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5?

Penyelesaian:

   A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,

   B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,

   A Ç B =  himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK – Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15),

yang ditanyakan adalah ½A È B½.

½A½ = ë100/3û  = 33,

½B½ = ë100/5û  = 20,

½A Ç B½ = ë100/15û  = 6

          ½A È B½ = ½A½ + ½B½ –  ½A Ç B½ = 33 + 20 – 6 = 47

Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.                                                                

Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku

½A È B È C½ = ½A½ + ½B½ + ½C½ –  ½A Ç B½ –

      ½A Ç C½ –  ½B Ç C½ + ½A Ç B Ç C½   

Untuk himpunan A₁, A₂, …, A_r, berlaku:

                               

½A₁ È A₂ È … È A_r½ = ½A_i½ – ½A_i Ç A_j½ +

½A_i Ç A_j Ç A_k½ + … +   

 (-1)^r-1 ½A₁ Ç A₂ Ç … Ç A_r½ 

Partisi

·       Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A₁, A₂, … dari A sedemikian sehingga:

(a)             A₁ È A₂ È … = A, dan

(b)            A_i Ç A_j = Æ untuk i ¹ j  

Contoh 25. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A. 

 

 

Himpunan Ganda

·       Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset).

Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.

·       Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan ganda.  Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4.

·       Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.

·       Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multiset semua berbeda.

Operasi Antara Dua Buah Multiset:

Misalkan P dan Q adalah multiset:

1.    P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.

     Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c },

 P Q = { a, a, a, b,  c, c, d, d }

2.    P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.

     Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c }

 P Q = { a, a, c }

3.  P – Q adalah suatu  multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan:

   multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q, jika selisihnya positif

        0, jika selisihnya nol atau negatif.

     Contoh: P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan Q = {  a, a, b, b, b, c,

                   c, d, d, f } maka P – Q  = { a, e }

4.    P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum) dua buah himpunan ganda, adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas elemen tersebut pada P dan Q.

     Contoh: P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b, d },

                  P + Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d }

Pembuktian Pernyataan Perihal Himpunan

·       Pernyataan himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan.

·       Pernyataan dapat berupa:

1.    Kesamaan (identity)

Contoh: Buktikan “A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)”

2.    Implikasi

Contoh: Buktikan bahwa “Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka selalu berlaku bahwa A Í C”.

1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn

Contoh 26. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C) dengan diagram Venn.

Bukti:

A Ç (B È C)                             (A Ç B) È (A Ç C)    

Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama.

Terbukti bahwa A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).    

                                               

·       Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya.

·       Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta. Diagram Venn  tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal. 

2. Pembuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan

Contoh 27. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C). 

Bukti:

A	B	C	B È C	A Ç (B È C)	A Ç B	A Ç C	(A Ç B) È (A Ç C)
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	1	0	0	0	0
0	1	0	1	0	0	0	0
0	1	1	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	1	1	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1

Karena kolom A Ç (B È C) dan kolom (A Ç B) È (A Ç C) sama, maka A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C). 

3. Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan.

Contoh 28. Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa (A Ç B) È (A Ç ) = A

Bukti:

(A Ç B) È (A Ç )  = A Ç (B È )       (Hukum distributif)

                        = A Ç U                   (Hukum komplemen)

                        = A                           (Hukum identitas)                                                 

               

Contoh 29.  Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa A È (B – A) = A È B

Bukti:

          A È (B – A)  = A È (B Ç ) (Definisi operasi selisih)

                          = (A È B) Ç (A È )     (Hukum distributif)

                          = (A È B) Ç U                (Hukum komplemen)

                          = A È B                           (Hukum identitas)                       

Contoh 30.  Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa

         (i)  A È ( Ç B) = A È B    dan

(ii)  A Ç ( È B) = A Ç B

Bukti:

(i)      A È ( Ç B)  = ( A È ) Ç (A Ç B)      (H. distributif)

                                  =  U Ç  (A Ç B)                (H. komplemen)

                                  =  A È B                            (H. identitas)                  

(ii)    adalah dual dari (i)

A Ç ( È B)  = (A Ç ) È  (A Ç B)      (H. distributif)

                                  = Æ  È  (A Ç B)                (H. komplemen)

                                 =  A Ç B                    (H. identitas)                  

         

4. Pembuktian dengan menggunakan definisi 

·       Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi pernyataan yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian (Í atau Ì).

Contoh 31.  Misalkan A dan B himpunan. Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka A Í C. Buktikan!

Bukti:

(i)    Dari definisi himpunan bagian, P Í Q jika dan hanya jika setiap x Î P juga Î Q. Misalkan x Î A. Karena A Í (B È C), maka dari definisi himpunan bagian, x juga Î (B È C).

Dari definisi operasi gabungan (È), x Î (B È C) berarti x Î B atau x Î C.

(ii)  Karena x Î A dan A Ç B = Æ, maka x Ï B

Dari (i) dan (ii), x Î C harus benar. Karena "x Î A juga berlaku x Î C, maka dapat disimpulkan A Í C . 

Tipe Set dalam Bahasa Pascal

·       Bahasa Pascal menyediakan tipe data khusus untuk himpunan, yang bernama set. Tipe set menyatakan himpunan kuasa dari tipe ordinal (integer, character).

    Contoh:

type

       HurufBesar = ‘A’..‘Z’;  { enumerasi }

       Huruf = set of HurufBesar;

    var

       HurufKu : Huruf;

Nilai untuk peubah HurufKu dapat diisi dengan pernyataan berikut:

          HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’];

    HurufKu:=[‘M’];

    HurufKu:=[];         { himpunan kosong }

·       Operasi yang dapat dilakukan pada tipe himpunan adalah operasi gabungan, irisan, dan selisih seperti pada contoh berikut:

 {gabungan}

          HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] + [‘C’, ‘D’, ‘E’];

{irisan}

    HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] * [‘C’, ‘D’, ‘E’];

{selisih}

HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] - [‘C’, ‘D’, ‘E’];

·       Uji keanggotaan sebuah elemen di dalam himpunan dilakukan dengan menggunakan opeator in seperti contoh berikut:

          if ‘A’ in HurufKu then    ...

·       Di dalam kakas pemrograman Delphi, set sering digunakan untuk mengindikasikan flag. Misalnya himpunan icon untuk window:

type

       TBorderIcon=(biSystemMenu, biMinimize,

       biMaximaze);

       Huruf = set of TBoderIcon;