Himpunan (set)
·
Himpunan (set) adalah
kumpulan objek-objek yang berbeda.
·
Objek di dalam himpunan disebut elemen,
unsur, atau anggota.
Cara Penyajian
Himpunan
1.
Enumerasi
Contoh 1.
- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
- Himpunan lima bilangan genap positif pertama:
B = {4, 6, 8, 10}.
- C = {kucing, a, Amir, 10, paku}
- R = { a,
b, {a, b, c}, {a, c}
}
- C = {a,
{a}, {{a}} }
- K = { {} }
- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1,
2, ..., 100 }
- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…,
-2, -1, 0, 1, 2, …}.
Keanggotaan
x Î A
: x merupakan anggota himpunan A;
x Ï A
: x bukan merupakan anggota himpunan A.
Contoh 2.
Misalkan: A
= {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b,
c}, {a, c} }
K = {{}}
maka
3 A
5 B
{a, b, c}
Î R
c Ï R
{} Î K
{}
Ï R
Contoh 3. Bila P1 = {a, b},
P2 = { {a, b}
}, P3 = {{{a, b}}},
maka
a Î P1
a Ï P2
P1 Î P2
P1 Ï P3
P2 Î P3
2.
Simbol-simbol Baku
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1,
2, 3, ... }
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1,
2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = {
..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
· Himpunan yang universal: semesta,
disimbolkan dengan U.
Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.
3. Notasi
Pembentuk Himpunan
Notasi: { x
ú syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh 4.
(i) A adalah himpunan bilangan
bulat positif yang kecil dari 5
A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil
dari 5}
atau
A = { x
| x
P, x < 5 }
yang
ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}
(ii) M = { x | x adalah mahasiswa
yang mengambil kuliah IF2151}
4. Diagram
Venn
Contoh 5.
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1,
2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:
Kardinalitas
·
Jumlah elemen di dalam A
disebut kardinal dari himpunan A.
·
Notasi: n(A) atau êA ê
Contoh 6.
(i) B
= { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 },
atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka ½B½ = 8
(ii) T =
{kucing, a, Amir, 10, paku}, maka ½T½ = 5
(iii) A =
{a, {a}, {{a}} }, maka ½A½ = 3
Himpunan Kosong
·
Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).
·
Notasi : Æ atau {}
Contoh 7.
(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0
(ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke
bulan }, maka n(P) = 0
(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A)
= 0
·
himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {Æ}
·
himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {Æ, {Æ}}
·
{Æ} bukan himpunan kosong
karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.
Himpunan Bagian (Subset)
·
Himpunan A dikatakan himpunan
bagian dari himpunan B jika dan hanya
jika setiap elemen A merupakan elemen
dari B.
·
Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
·
Notasi: A Í B
·
Diagram Venn:
Contoh 8.
(i) { 1, 2, 3} Í {1, 2, 3, 4, 5}
(ii)
{1, 2, 3} Í {1, 2, 3}
(iii) N
Z R C
(iv) Jika A = { (x, y) | x + y
< 4, x ³, y ³ 0 } dan
B
= { (x, y) | 2x + y < 4, x ³ 0 dan y ³ 0 },
maka B A.
TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A
berlaku hal-hal sebagai berikut:
(a) A adalah himpunan bagian dari A
itu sendiri (yaitu, A A).
(b) Himpunan kosong
merupakan himpunan bagian dari A ( A).
(c) Jika A Í B dan B Í C, maka A Í C
·
A dan A A, maka dan A disebut himpunan
bagian tak sebenarnya (improper subset)
dari himpunan A.
Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan Æ adalah improper subset dari A.
·
A Í B berbeda dengan A Ì B
(i)
A Ì B
: A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ¹ B.
A
adalah himpunan bagian sebenarnya (proper
subset) dari B.
Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper
subset dari {1, 2, 3}
(ii) A Í B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B
yang memungkinkan A = B.
Himpunan yang Sama
·
A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan
sebaliknya setiap elemen B merupakan
elemen A.
·
A =
B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah
himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A ¹ B.
·
Notasi : A = B
« A Í B
dan B Í A
Contoh 9.
(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x
– 1) = 0 }, maka A = B
(ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B
(iii) Jika A
= { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka
A ¹ B
Untuk tiga buah himpunan, A, B,
dan C berlaku aksioma berikut:
(a) A
= A, B = B, dan C = C
(b) jika A
= B, maka B = A
(c) jika A
= B dan B = C, maka A = C
Himpunan yang
Ekivalen
·
Himpunan A dikatakan ekivalen
dengan himpunan B jika dan hanya jika
kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.
·
Notasi : A ~ B
« ½A½ = ½B½
Contoh 10.
Misalkan A
= { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b,
c, d }, maka A ~ B
sebab ½A½ = ½B½ = 4
Himpunan Saling
Lepas
·
Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.
·
Notasi : A // B
·
Diagram Venn:
Contoh 11.
Jika A = {
x | x P, x < 8 } dan B = { 10,
20, 30, ... }, maka A // B.
Himpunan Kuasa
·
Himpunan kuasa (power
set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan
semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A
sendiri.
·
Notasi : P(A) atau 2A
·
Jika ½A½ = m, maka ½P(A)½ = 2m.
Contoh 12.
Jika A = {
1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
Contoh 13.
Himpunan kuasa dari himpunan
kosong adalah P(Æ) = {Æ}, dan himpunan kuasa dari
himpunan {Æ} adalah P({Æ}) = {Æ, {Æ}}.
Operasi Terhadap Himpunan
a. Irisan (intersection)
· Notasi : A Ç B = { x | x Î A
dan x Î B }
 |
Contoh 14.
(i) Jika A
= {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10,
14, 18},
maka A Ç B = {4, 10}
(ii) Jika A
= { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka
A B = .
Artinya:
A // B
b. Gabungan (union)
· Notasi : A È B = { x | x Î A
atau x Î B }
 |
Contoh 15.
(i) Jika A
= { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 },
maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 }
(ii) A = A
c. Komplemen (complement)
· Notasi : 
= { x | x Î U, x Ï A
}
= { x | x Î U, x Ï A
} |
Contoh 16.
Misalkan U =
{ 1, 2, 3, ..., 9 },
(i)
jika A = {1, 3, 7, 9}, maka = {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 6, 8}
(ii)
jika A = { x | x/2
P, x < 9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 }
= { 1, 3, 5, 7, 9 }
Contoh 17. Misalkan:
A =
himpunan semua mobil buatan dalam negeri
B =
himpunan semua mobil impor
C =
himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990
D =
himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta
E =
himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu
(i) “mobil mahasiswa di
universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri” à (E
Ç A)
È (E
Ç B)
atau E Ç (A È B)
(ii) “semua mobil produksi dalam
negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100
juta” à A Ç C Ç D
(iii)
“semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih
dari Rp 100 juta” à 
d. Selisih (difference)
· Notasi : A – B
= { x | x Î A dan x Ï B
} = A Ç 
 |
Contoh 18.
(i) Jika A
= { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2,
4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A
=
(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3}
– {1, 3, 5} = {2}
e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)
· Notasi: A Å B = (A È B)
– (A Ç B) = (A – B) È (B – A)
Contoh 19.
Jika A = {
2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }
Contoh 20. Misalkan
U = himpunan mahasiswa
P =
himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80
Q = himpunan mahasiswa yang
nilain ujian UAS di atas 80
Seorang mahasiswa mendapat
nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika
salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.
(i) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P Ç Q
(ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Å Q
(iii) “Ssemua mahasiswa yang
mendapat nilai C” : U – (P È Q)
TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
(a)
A Å B = B Å A (hukum komutatif)
(b)
(A Å B ) Å C = A Å (B
Å C
) (hukum asosiatif)
f. Perkalian Kartesian (cartesian
product)
· Notasi: A ´ B = {(a, b) ½ a Î A dan b Î B
}
Contoh 20.
(i) Misalkan C
= { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka
C ´ D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
C ´ D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
(ii) Misalkan A
= B = himpunan semua bilangan riil,
maka
A ´ B = himpunan semua titik di bidang datar
A ´ B = himpunan semua titik di bidang datar
Catatan:
1. Jika A dan B merupakan
himpunan berhingga, maka: ½A ´ B½ = ½A½ . ½B½.
2. Pasangan berurutan (a, b)
berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b)
¹ (b,
a).
3. Perkalian kartesian tidak
komutatif, yaitu A ´ B ¹ B ´ A dengan syarat A atau B tidak kosong.
Pada
Contoh 20(i) di atas, D ´ C
= {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } ¹ C ´ D.
4. Jika A = Æ atau B = Æ, maka A ´ B = B ´ A
= Æ
Contoh 21. Misalkan
A =
himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie
rebus }
B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }
Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat
disusun dari kedua himpunan di atas?
Jawab:
½A ´ B½ = ½A½×½B½ = 4 × 3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c),
(s, t), (s, d), (g,
c), (g, t), (g, d),
(n, c), (n, t), (n,
d), (m, c), (m, t),
(m, d)}.
Contoh 21. Daftarkan semua anggota himpunan berikut:
(a) P(Æ) (b) Æ ´ P(Æ) (c) {Æ}´ P(Æ) (d) P(P({3}))
Penyelesaian:
(a) P(Æ) = {Æ}
(b) Æ ´ P(Æ) = Æ (ket: jika A = Æ atau B = Æ maka A ´ B = Æ)
(c) {Æ}´ P(Æ) = {Æ}´ {Æ} = {(Æ,Æ))
(d) P(P({3}))
= P({ Æ, {3} }) = {Æ, {Æ}, {{3}}, {Æ,
{3}} }
Perampatan Operasi Himpunan
    |
Contoh
22.
(i) A (B1B2 ... Bn) = (A B1) (A B2) ... (A Bn)
(ii)
Misalkan A = {1, 2}, B
= {a, b}, dan C = {a, b}, maka
A ´ B ´ C
= {(1, a, a), (1, a,
b), (1, b,
a), (1, b,
b), (2, a,
a), (2, a,
b), (2, b,
a), (2, b,
b) }
Hukum-hukum
Himpunan
|
1. Hukum identitas:
A = A
A U
= A
|
2. Hukum null/dominasi:
A =
A U = U
|
|
3. Hukum komplemen:
A
 = U
A
= |
4. Hukum idempoten:
A A = A
A A = A
|
|
5. Hukum involusi:
 = A |
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
A (A B) = A
A (A B) = A
|
|
7. Hukum komutatif:
A B = B A
A B = B A
|
8. Hukum asosiatif:
A (B C) = (A B) C
A (B C) = (A B) C
|
|
9. Hukum distributif:
A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
|
10. Hukum De Morgan:
 =   =  |
|
11.
Hukum 0/1
 = U = Æ |
 |
Prinsip Dualitas
· Prinsip dualitas: dua konsep
yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.
Contoh: AS à kemudi mobil di kiri depan
Inggris (juga Indonesia) à kemudi mobil di kanan depan
Peraturan:
(a) di Amerika Serikat,
- mobil
harus berjalan di bagian kanan jalan,
-
pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului,
-
bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung
(b) di Inggris,
-
mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,
-
pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului,
-
bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung
Prinsip dualitas:
Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan
pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat
menjadi berlaku pula di Inggris.
· (Prinsip Dualitas pada
Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti , , dan komplemen.
Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti ® , ® , ®
U, U ® , sedangkan
komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S*
juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.
|
1. Hukum identitas:
A
= A
|
Dualnya:
A U = A
|
|
2. Hukum null/dominasi:
A
=
|
Dualnya:
A U = U
|
|
3. Hukum komplemen:
A
= U |
Dualnya:
A
= |
|
4. Hukum idempoten:
A
A = A
|
Dualnya:
A A = A
|
|
5. Hukum penyerapan:
A
(A B) = A
|
Dualnya:
A (A B) = A
|
|
6. Hukum komutatif:
A
B = B A
|
Dualnya:
A B = B A
|
|
7. Hukum asosiatif:
A (B C) = (A B) C
|
Dualnya:
A (B C) = (A B) C
|
|
8. Hukum distributif:
A (B C)=(A B) (A C)
|
Dualnya:
A (B C) = (A B) (A C)
|
|
9. Hukum De Morgan:
= |
Dualnya:
= |
|
10.
Hukum 0/1
= U |
Dualnya:
= Æ |
Contoh 23. Dual dari (A B) (A ) = A adalah
) = A adalah
(A
B) (A ) = A.
) = A.
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Untuk dua himpunan A dan B:
½A È B½ = ½A½ + ½B½ – ½A Ç B½
½A Å B½ = ½A½ +½B½ – 2½A Ç B½
Contoh 24. Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan
100 yang habis dibagi 3 atau 5?
Penyelesaian:
A
= himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,
B
= himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,
A Ç B
= himpunan bilangan bulat yang habis
dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK –
Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15),
yang
ditanyakan adalah ½A È B½.
½A½ = ë100/3û = 33,
½B½ = ë100/5û = 20,
½A Ç B½ = ë100/15û = 6
½A È B½ = ½A½ + ½B½ – ½A Ç B½ = 33 + 20 – 6 = 47
Jadi,
ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.
Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku
½A È B È C½ = ½A½ + ½B½ + ½C½ – ½A Ç B½ –
½A Ç C½ – ½B Ç C½ + ½A Ç B Ç C½
Untuk
himpunan A1, A2, …, Ar, berlaku:
½A1 È A2
È … È Ar½ = 
½Ai½ – 
½Ai Ç Aj½ +
½Ai½ – ½Ai Ç Aj½ + 
½Ai Ç Aj Ç Ak½ + … +
(-1)r-1
½A1 Ç A2
Ç … Ç Ar½
Partisi
·
Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1, A2, … dari A
sedemikian sehingga:
(a)
A1 È A2
È … = A,
dan
(b)
Ai Ç Aj
= Æ untuk i
¹ j
Contoh 25. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka {
{1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A.
Himpunan Ganda
·
Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset).
Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2,
3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.
·
Multiplisitas dari suatu elemen pada
himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan
ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4.
·
Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini
multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.
·
Kardinalitas dari suatu multiset
didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan padanannya (ekivalen), dengan
mengasumsikan elemen-elemen di dalam multiset
semua berbeda.
Operasi Antara Dua
Buah Multiset:
Misalkan P dan Q adalah multiset:
1. P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya
sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.
Contoh: P = { a, a, a, c,
d, d } dan Q ={ a, a,
b, c, c },
P Q = { a, a, a, b, c, c, d,
d }
2. P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya
sama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.
Contoh: P = { a, a, a, c,
d, d } dan Q = { a, a,
b, c, c }
P Q = { a, a, c }
3. P – Q
adalah suatu multiset yang
multiplisitas elemennya sama dengan:
multiplisitas elemen tersebut
pada P dikurangi multiplisitasnya
pada Q, jika selisihnya positif
0, jika selisihnya nol atau
negatif.
Contoh: P = { a, a, a, b,
b, c, d, d, e
} dan Q = { a, a, b,
b, b, c,
c,
d, d, f } maka P – Q = { a,
e }
4. P +
Q, yang didefinisikan sebagai jumlah
(sum) dua buah himpunan ganda, adalah
suatu multiset yang multiplisitas
elemennya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas elemen tersebut pada P dan Q.
Contoh: P = { a, a, b, c,
c } dan Q = { a, b, b,
d },
P + Q = { a, a, a,
b, b, b, c, c,
d }
Pembuktian Pernyataan
Perihal Himpunan
·
Pernyataan himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan.
·
Pernyataan dapat berupa:
1. Kesamaan (identity)
Contoh: Buktikan “A Ç (B È C) = (A Ç B)
È (A
Ç C)”
2. Implikasi
Contoh:
Buktikan bahwa “Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka selalu berlaku bahwa A Í C”.
1. Pembuktian dengan
menggunakan diagram Venn
Contoh 26. Misalkan A, B,
dan C adalah himpunan. Buktikan A Ç (B È C) = (A Ç B)
È (A
Ç C)
dengan diagram Venn.
Bukti:
 |
 |
A Ç (B
È C) (A Ç B)
È (A
Ç C)
Kedua digaram Venn
memberikan area arsiran yang sama.
Terbukti bahwa A Ç (B È C) = (A Ç B)
È (A
Ç C).
· Diagram Venn hanya dapat
digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya.
· Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan
fakta. Diagram Venn tidak dianggap
sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal.
2. Pembuktikan
dengan menggunakan tabel keanggotaan
Contoh 27. Misalkan A, B,
dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa
A Ç (B È C) = (A Ç B)
È (A
Ç C).
Bukti:
|
A
|
B
|
C
|
B
È C
|
A
Ç (B
È C)
|
A
Ç B
|
A
Ç C
|
(A Ç B) È (A Ç C)
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Karena
kolom A Ç (B
È C)
dan kolom (A Ç B)
È (A
Ç C)
sama, maka A Ç (B
È C)
= (A Ç B) È (A Ç C).
3. Pembuktian
dengan menggunakan aljabar himpunan.
Contoh 28. Misalkan A
dan B himpunan. Buktikan bahwa (A Ç B) È (A Ç ) = A
) = A
Bukti:
(A Ç B)
È (A
Ç ) = A Ç (B È ) (Hukum
distributif)
) = A Ç (B È ) (Hukum
distributif)
= A
Ç U (Hukum komplemen)
= A (Hukum identitas)
Contoh 29. Misalkan A
dan B himpunan. Buktikan bahwa A È (B – A) = A È B
Bukti:
A
È (B
– A)
= A È (B
Ç ) (Definisi operasi
selisih)
) (Definisi operasi
selisih)
= (A
È B)
Ç (A
È ) (Hukum
distributif)
) (Hukum
distributif)
= (A
È B)
Ç U (Hukum komplemen)
= A
È B (Hukum identitas)
Contoh 30. Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa
(i)
A È ( Ç B)
= A È B dan
Ç B)
= A È B dan
(ii) A Ç ( È B)
= A Ç B
È B)
= A Ç B
Bukti:
(i) A È ( Ç B) = ( A
È ) Ç (A Ç B) (H. distributif)
Ç B) = ( A
È ) Ç (A Ç B) (H. distributif)
= U
Ç (A Ç B) (H.
komplemen)
= A È B (H.
identitas)
(ii) adalah
dual dari (i)
A Ç ( È B) = (A
Ç ) È (A Ç B) (H. distributif)
È B) = (A
Ç ) È (A Ç B) (H. distributif)
= Æ È (A Ç B) (H. komplemen)
= A Ç B (H.
identitas)
4. Pembuktian
dengan menggunakan definisi
·
Metode ini digunakan untuk membuktikan
pernyataan himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi pernyataan yang berbentuk
implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian
(Í
atau Ì).
Contoh 31. Misalkan A dan B himpunan. Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka A Í C. Buktikan!
Bukti:
(i) Dari definisi himpunan
bagian, P Í Q
jika dan hanya jika setiap x Î P
juga Î Q.
Misalkan x Î A.
Karena A Í (B
È C),
maka dari definisi himpunan bagian, x
juga Î (B
È C).
Dari definisi operasi gabungan (È), x
Î (B
È C)
berarti x Î B
atau x Î C.
(ii) Karena x
Î A
dan A Ç B = Æ, maka x Ï B
Dari
(i) dan (ii), x Î C
harus benar. Karena "x Î A
juga berlaku x Î C, maka dapat disimpulkan A Í C .
Tipe Set dalam Bahasa
Pascal
·
Bahasa Pascal menyediakan tipe
data khusus untuk himpunan, yang bernama set. Tipe set menyatakan himpunan kuasa dari tipe ordinal
(integer, character).
Contoh:
type
HurufBesar = ‘A’..‘Z’; {
enumerasi }
Huruf = set of HurufBesar;
var
HurufKu : Huruf;
Nilai untuk peubah HurufKu dapat diisi dengan pernyataan berikut:
HurufKu:=[‘A’,
‘C’, ‘D’];
HurufKu:=[‘M’];
HurufKu:=[]; { himpunan kosong }
·
Operasi yang dapat dilakukan pada tipe himpunan adalah operasi
gabungan, irisan, dan selisih seperti pada contoh berikut:
{gabungan}
HurufKu:=[‘A’,
‘C’, ‘D’] + [‘C’, ‘D’, ‘E’];
{irisan}
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] * [‘C’, ‘D’, ‘E’];
{selisih}
HurufKu:=[‘A’,
‘C’, ‘D’] - [‘C’, ‘D’, ‘E’];
· Uji keanggotaan sebuah
elemen di dalam himpunan dilakukan dengan menggunakan opeator in seperti
contoh berikut:
if ‘A’ in HurufKu then ...
· Di dalam kakas pemrograman Delphi,
set sering digunakan untuk mengindikasikan flag. Misalnya himpunan icon
untuk window:
type
TBorderIcon=(biSystemMenu, biMinimize,
biMaximaze);
Huruf = set of TBoderIcon;
No comments:
Post a Comment